3.518 \(\int \cot ^3(c+d x) (a+b \tan (c+d x))^{3/2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=189 \[ \frac{\left (8 a^2-3 b^2\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a}}\right )}{4 \sqrt{a} d}-\frac{(a-i b)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a-i b}}\right )}{d}-\frac{(a+i b)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a+i b}}\right )}{d}-\frac{a \cot ^2(c+d x) \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{2 d}-\frac{5 b \cot (c+d x) \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{4 d} \]

[Out]

((8*a^2 - 3*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(4*Sqrt[a]*d) - ((a - I*b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a +
b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d - ((a + I*b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d - (5*b
*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(4*d) - (a*Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(2*d)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.691552, antiderivative size = 189, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 13, number of rules used = 8, integrand size = 23, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.348, Rules used = {3567, 3649, 3653, 3539, 3537, 63, 208, 3634} \[ \frac{\left (8 a^2-3 b^2\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a}}\right )}{4 \sqrt{a} d}-\frac{(a-i b)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a-i b}}\right )}{d}-\frac{(a+i b)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a+i b}}\right )}{d}-\frac{a \cot ^2(c+d x) \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{2 d}-\frac{5 b \cot (c+d x) \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{4 d} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Cot[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2),x]

[Out]

((8*a^2 - 3*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(4*Sqrt[a]*d) - ((a - I*b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a +
b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d - ((a + I*b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d - (5*b
*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(4*d) - (a*Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(2*d)

Rule 3567

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Si
mp[((b*c - a*d)*(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n - 1))/(f*(m + 1)*(a^2 + b^2)), x] + Dist[
1/((m + 1)*(a^2 + b^2)), Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n - 2)*Simp[a*c^2*(m + 1) + a*
d^2*(n - 1) + b*c*d*(m - n + 2) - (b*c^2 - 2*a*c*d - b*d^2)*(m + 1)*Tan[e + f*x] - d*(b*c - a*d)*(m + n)*Tan[e
+ f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d
^2, 0] && LtQ[m, -1] && LtQ[1, n, 2] && IntegerQ[2*m]

Rule 3649

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*t
an[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(a + b*T
an[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1))/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 + b^2)), x] + Dist[1/((m + 1)*(
b*c - a*d)*(a^2 + b^2)), Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^n*Simp[A*(a*(b*c - a*d)*(m + 1)
- b^2*d*(m + n + 2)) + (b*B - a*C)*(b*c*(m + 1) + a*d*(n + 1)) - (m + 1)*(b*c - a*d)*(A*b - a*B - b*C)*Tan[e
+ f*x] - d*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(m + n + 2)*Tan[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C,
n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && LtQ[m, -1] &&  !(ILtQ[n, -1] && ( !I
ntegerQ[m] || (EqQ[c, 0] && NeQ[a, 0])))

Rule 3653

Int[(((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (
f_.)*(x_)]^2))/((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Dist[1/(a^2 + b^2), Int[(c + d*Tan[e + f*
x])^n*Simp[b*B + a*(A - C) + (a*B - b*(A - C))*Tan[e + f*x], x], x], x] + Dist[(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)/(a^2 +
b^2), Int[((c + d*Tan[e + f*x])^n*(1 + Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
f, A, B, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] &&  !GtQ[n, 0] &&  !LeQ[n, -
1]

Rule 3539

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Dist[(c
+ I*d)/2, Int[(a + b*Tan[e + f*x])^m*(1 - I*Tan[e + f*x]), x], x] + Dist[(c - I*d)/2, Int[(a + b*Tan[e + f*x]
)^m*(1 + I*Tan[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0]
&& NeQ[c^2 + d^2, 0] &&  !IntegerQ[m]

Rule 3537

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Dist[(c*
d)/f, Subst[Int[(a + (b*x)/d)^m/(d^2 + c*x), x], x, d*Tan[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] &&
NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && EqQ[c^2 + d^2, 0]

Rule 63

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> With[{p = Denominator[m]}, Dist[p/b, Sub
st[Int[x^(p*(m + 1) - 1)*(c - (a*d)/b + (d*x^p)/b)^n, x], x, (a + b*x)^(1/p)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
& NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[-1, m, 0] && LeQ[-1, n, 0] && LeQ[Denominator[n], Denominator[m]] && IntLinearQ[a,
b, c, d, m, n, x]

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rule 3634

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_) + (C_.)*
tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Dist[A/f, Subst[Int[(a + b*x)^m*(c + d*x)^n, x], x, Tan[e + f*x]], x]
/; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C, m, n}, x] && EqQ[A, C]

Rubi steps

\begin{align*} \int \cot ^3(c+d x) (a+b \tan (c+d x))^{3/2} \, dx &=-\frac{a \cot ^2(c+d x) \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{2 d}-\frac{1}{2} \int \frac{\cot ^2(c+d x) \left (-\frac{5 a b}{2}+2 \left (a^2-b^2\right ) \tan (c+d x)+\frac{3}{2} a b \tan ^2(c+d x)\right )}{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}} \, dx\\ &=-\frac{5 b \cot (c+d x) \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{4 d}-\frac{a \cot ^2(c+d x) \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{2 d}+\frac{\int \frac{\cot (c+d x) \left (-\frac{1}{4} a \left (8 a^2-3 b^2\right )-4 a^2 b \tan (c+d x)-\frac{5}{4} a b^2 \tan ^2(c+d x)\right )}{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}} \, dx}{2 a}\\ &=-\frac{5 b \cot (c+d x) \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{4 d}-\frac{a \cot ^2(c+d x) \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{2 d}+\frac{\int \frac{-4 a^2 b+2 a \left (a^2-b^2\right ) \tan (c+d x)}{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}} \, dx}{2 a}+\frac{1}{8} \left (-8 a^2+3 b^2\right ) \int \frac{\cot (c+d x) \left (1+\tan ^2(c+d x)\right )}{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}} \, dx\\ &=-\frac{5 b \cot (c+d x) \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{4 d}-\frac{a \cot ^2(c+d x) \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{2 d}-\frac{1}{2} \left (i (a-i b)^2\right ) \int \frac{1+i \tan (c+d x)}{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}} \, dx+\frac{1}{2} \left (i (a+i b)^2\right ) \int \frac{1-i \tan (c+d x)}{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}} \, dx-\frac{\left (8 a^2-3 b^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{x \sqrt{a+b x}} \, dx,x,\tan (c+d x)\right )}{8 d}\\ &=-\frac{5 b \cot (c+d x) \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{4 d}-\frac{a \cot ^2(c+d x) \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{2 d}+\frac{(a-i b)^2 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{(-1+x) \sqrt{a-i b x}} \, dx,x,i \tan (c+d x)\right )}{2 d}+\frac{(a+i b)^2 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{(-1+x) \sqrt{a+i b x}} \, dx,x,-i \tan (c+d x)\right )}{2 d}-\frac{\left (8 a^2-3 b^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-\frac{a}{b}+\frac{x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt{a+b \tan (c+d x)}\right )}{4 b d}\\ &=\frac{\left (8 a^2-3 b^2\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a}}\right )}{4 \sqrt{a} d}-\frac{5 b \cot (c+d x) \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{4 d}-\frac{a \cot ^2(c+d x) \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{2 d}+\frac{\left (i (a-i b)^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-1-\frac{i a}{b}+\frac{i x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt{a+b \tan (c+d x)}\right )}{b d}-\frac{\left (i (a+i b)^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-1+\frac{i a}{b}-\frac{i x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt{a+b \tan (c+d x)}\right )}{b d}\\ &=\frac{\left (8 a^2-3 b^2\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a}}\right )}{4 \sqrt{a} d}-\frac{(a-i b)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a-i b}}\right )}{d}-\frac{(a+i b)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a+i b}}\right )}{d}-\frac{5 b \cot (c+d x) \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{4 d}-\frac{a \cot ^2(c+d x) \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{2 d}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 1.41589, size = 168, normalized size = 0.89 \[ \frac{\left (8 a^2-3 b^2\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a}}\right )-\sqrt{a} \left (4 (a-i b)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a-i b}}\right )+4 (a+i b)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a+i b}}\right )+\cot (c+d x) \sqrt{a+b \tan (c+d x)} (2 a \cot (c+d x)+5 b)\right )}{4 \sqrt{a} d} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Cot[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2),x]

[Out]

((8*a^2 - 3*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]] - Sqrt[a]*(4*(a - I*b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan
[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]] + 4*(a + I*b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]] + Cot[c + d*x]*(
5*b + 2*a*Cot[c + d*x])*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]))/(4*Sqrt[a]*d)

________________________________________________________________________________________

Maple [C]  time = 1.082, size = 54149, normalized size = 286.5 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cot(d*x+c)^3*(a+b*tan(d*x+c))^(3/2),x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: ValueError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(d*x+c)^3*(a+b*tan(d*x+c))^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 19.4615, size = 19724, normalized size = 104.36 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(d*x+c)^3*(a+b*tan(d*x+c))^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[-1/16*(16*sqrt(2)*(a*d^5*cos(d*x + c)^2 - a*d^5)*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^
2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4
+ b^6)/d^4)^(3/4)*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*arctan(((3*a^10 + 11*a^8*b^2 + 14*a^6*b^4 + 6*a^4*b^
6 - a^2*b^8 - b^10)*d^4*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4)
+ (3*a^13 + 14*a^11*b^2 + 25*a^9*b^4 + 20*a^7*b^6 + 5*a^5*b^8 - 2*a^3*b^10 - a*b^12)*d^2*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a
^2*b^4 + b^6)/d^4) + sqrt(2)*((3*a^5 + 2*a^3*b^2 - a*b^4)*d^7*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*sq
rt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4) + (3*a^8 + 2*a^6*b^2 - 4*a^4*b^4 - 2*a^2*b^6 + b^8)*d^5*sqrt((9*a^4*b^2
- 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 +
3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*((
a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(3/4) + sqrt(2)*(a*d^7*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*s
qrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4) + (a^4 - b^4)*d^5*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4))*sqrt((a^6 +
3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 -
6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt(((9*a^8 + 12*a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 - 4*a^2*b^6 + b^8)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b
^4 + b^6)/d^4)*cos(d*x + c) + sqrt(2)*((9*a^6 - 15*a^4*b^2 + 7*a^2*b^4 - b^6)*d^3*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^
2*b^4 + b^6)/d^4)*cos(d*x + c) + (9*a^9 + 12*a^7*b^2 - 2*a^5*b^4 - 4*a^3*b^6 + a*b^8)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^
6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^
2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6
)/d^4)^(1/4) + (9*a^11 + 21*a^9*b^2 + 10*a^7*b^4 - 6*a^5*b^6 - 3*a^3*b^8 + a*b^10)*cos(d*x + c) + (9*a^10*b +
21*a^8*b^3 + 10*a^6*b^5 - 6*a^4*b^7 - 3*a^2*b^9 + b^11)*sin(d*x + c))/((a^2 + b^2)*cos(d*x + c)))*((a^6 + 3*a^
4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(3/4))/(9*a^14*b^2 + 39*a^12*b^4 + 61*a^10*b^6 + 35*a^8*b^8 - 5*a^6*b^10 - 11*a^
4*b^12 - a^2*b^14 + b^16)) + 16*sqrt(2)*(a*d^5*cos(d*x + c)^2 - a*d^5)*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6
- (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*((a^6 + 3
*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(3/4)*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*arctan(-((3*a^10 + 11*a^8*b^2 +
14*a^6*b^4 + 6*a^4*b^6 - a^2*b^8 - b^10)*d^4*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*sqrt((9*a^4*b^2 -
6*a^2*b^4 + b^6)/d^4) + (3*a^13 + 14*a^11*b^2 + 25*a^9*b^4 + 20*a^7*b^6 + 5*a^5*b^8 - 2*a^3*b^10 - a*b^12)*d^2
*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4) - sqrt(2)*((3*a^5 + 2*a^3*b^2 - a*b^4)*d^7*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*
a^2*b^4 + b^6)/d^4)*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4) + (3*a^8 + 2*a^6*b^2 - 4*a^4*b^4 - 2*a^2*b^6 + b^8
)*d^5*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*s
qrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x
+ c))/cos(d*x + c))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(3/4) - sqrt(2)*(a*d^7*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3
*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4) + (a^4 - b^4)*d^5*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b
^6)/d^4))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^
6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt(((9*a^8 + 12*a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 - 4*a^2*b^6 + b^8)*d^2*sqrt((a^6
+ 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*cos(d*x + c) - sqrt(2)*((9*a^6 - 15*a^4*b^2 + 7*a^2*b^4 - b^6)*d^3*sqrt((
a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*cos(d*x + c) + (9*a^9 + 12*a^7*b^2 - 2*a^5*b^4 - 4*a^3*b^6 + a*b^8)*d*
cos(d*x + c))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4
+ b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*((a^6 + 3*a^4
*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(1/4) + (9*a^11 + 21*a^9*b^2 + 10*a^7*b^4 - 6*a^5*b^6 - 3*a^3*b^8 + a*b^10)*cos(d
*x + c) + (9*a^10*b + 21*a^8*b^3 + 10*a^6*b^5 - 6*a^4*b^7 - 3*a^2*b^9 + b^11)*sin(d*x + c))/((a^2 + b^2)*cos(d
*x + c)))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(3/4))/(9*a^14*b^2 + 39*a^12*b^4 + 61*a^10*b^6 + 35*a^8*b^
8 - 5*a^6*b^10 - 11*a^4*b^12 - a^2*b^14 + b^16)) + 4*sqrt(2)*((a^7 + 3*a^5*b^2 + 3*a^3*b^4 + a*b^6)*d*cos(d*x
+ c)^2 - (a^7 + 3*a^5*b^2 + 3*a^3*b^4 + a*b^6)*d + ((a^4 - 3*a^2*b^2)*d^3*cos(d*x + c)^2 - (a^4 - 3*a^2*b^2)*d
^3)*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d
^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4
+ b^6)/d^4)^(1/4)*log(((9*a^8 + 12*a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 - 4*a^2*b^6 + b^8)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b
^4 + b^6)/d^4)*cos(d*x + c) + sqrt(2)*((9*a^6 - 15*a^4*b^2 + 7*a^2*b^4 - b^6)*d^3*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^
2*b^4 + b^6)/d^4)*cos(d*x + c) + (9*a^9 + 12*a^7*b^2 - 2*a^5*b^4 - 4*a^3*b^6 + a*b^8)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^
6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^
2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6
)/d^4)^(1/4) + (9*a^11 + 21*a^9*b^2 + 10*a^7*b^4 - 6*a^5*b^6 - 3*a^3*b^8 + a*b^10)*cos(d*x + c) + (9*a^10*b +
21*a^8*b^3 + 10*a^6*b^5 - 6*a^4*b^7 - 3*a^2*b^9 + b^11)*sin(d*x + c))/((a^2 + b^2)*cos(d*x + c))) - 4*sqrt(2)*
((a^7 + 3*a^5*b^2 + 3*a^3*b^4 + a*b^6)*d*cos(d*x + c)^2 - (a^7 + 3*a^5*b^2 + 3*a^3*b^4 + a*b^6)*d + ((a^4 - 3*
a^2*b^2)*d^3*cos(d*x + c)^2 - (a^4 - 3*a^2*b^2)*d^3)*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))*sqrt((a^6
+ 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2
- 6*a^2*b^4 + b^6))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(1/4)*log(((9*a^8 + 12*a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 - 4*a
^2*b^6 + b^8)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*cos(d*x + c) - sqrt(2)*((9*a^6 - 15*a^4*b^2 +
7*a^2*b^4 - b^6)*d^3*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*cos(d*x + c) + (9*a^9 + 12*a^7*b^2 - 2*a^5*
b^4 - 4*a^3*b^6 + a*b^8)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a
^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/
cos(d*x + c))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(1/4) + (9*a^11 + 21*a^9*b^2 + 10*a^7*b^4 - 6*a^5*b^6
- 3*a^3*b^8 + a*b^10)*cos(d*x + c) + (9*a^10*b + 21*a^8*b^3 + 10*a^6*b^5 - 6*a^4*b^7 - 3*a^2*b^9 + b^11)*sin(d
*x + c))/((a^2 + b^2)*cos(d*x + c))) - (8*a^8 + 21*a^6*b^2 + 15*a^4*b^4 - a^2*b^6 - 3*b^8 - (8*a^8 + 21*a^6*b^
2 + 15*a^4*b^4 - a^2*b^6 - 3*b^8)*cos(d*x + c)^2)*sqrt(a)*log(-(8*a*b*cos(d*x + c)*sin(d*x + c) + (8*a^2 - b^2
)*cos(d*x + c)^2 + b^2 - 4*(2*a*cos(d*x + c)^2 + b*cos(d*x + c)*sin(d*x + c))*sqrt(a)*sqrt((a*cos(d*x + c) + b
*sin(d*x + c))/cos(d*x + c)))/(cos(d*x + c)^2 - 1)) - 4*(2*(a^8 + 3*a^6*b^2 + 3*a^4*b^4 + a^2*b^6)*cos(d*x + c
)^2 + 5*(a^7*b + 3*a^5*b^3 + 3*a^3*b^5 + a*b^7)*cos(d*x + c)*sin(d*x + c))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x +
c))/cos(d*x + c)))/((a^7 + 3*a^5*b^2 + 3*a^3*b^4 + a*b^6)*d*cos(d*x + c)^2 - (a^7 + 3*a^5*b^2 + 3*a^3*b^4 + a*
b^6)*d), -1/4*(4*sqrt(2)*(a*d^5*cos(d*x + c)^2 - a*d^5)*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b
^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^
2*b^4 + b^6)/d^4)^(3/4)*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*arctan(((3*a^10 + 11*a^8*b^2 + 14*a^6*b^4 + 6*
a^4*b^6 - a^2*b^8 - b^10)*d^4*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)
/d^4) + (3*a^13 + 14*a^11*b^2 + 25*a^9*b^4 + 20*a^7*b^6 + 5*a^5*b^8 - 2*a^3*b^10 - a*b^12)*d^2*sqrt((9*a^4*b^2
- 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4) + sqrt(2)*((3*a^5 + 2*a^3*b^2 - a*b^4)*d^7*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d
^4)*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4) + (3*a^8 + 2*a^6*b^2 - 4*a^4*b^4 - 2*a^2*b^6 + b^8)*d^5*sqrt((9*a^
4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4
*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x +
c))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(3/4) + sqrt(2)*(a*d^7*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/
d^4)*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4) + (a^4 - b^4)*d^5*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4))*sqrt((
a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*
b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt(((9*a^8 + 12*a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 - 4*a^2*b^6 + b^8)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3
*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*cos(d*x + c) + sqrt(2)*((9*a^6 - 15*a^4*b^2 + 7*a^2*b^4 - b^6)*d^3*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2
+ 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*cos(d*x + c) + (9*a^9 + 12*a^7*b^2 - 2*a^5*b^4 - 4*a^3*b^6 + a*b^8)*d*cos(d*x + c))*sq
rt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*
a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4
+ b^6)/d^4)^(1/4) + (9*a^11 + 21*a^9*b^2 + 10*a^7*b^4 - 6*a^5*b^6 - 3*a^3*b^8 + a*b^10)*cos(d*x + c) + (9*a^1
0*b + 21*a^8*b^3 + 10*a^6*b^5 - 6*a^4*b^7 - 3*a^2*b^9 + b^11)*sin(d*x + c))/((a^2 + b^2)*cos(d*x + c)))*((a^6
+ 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(3/4))/(9*a^14*b^2 + 39*a^12*b^4 + 61*a^10*b^6 + 35*a^8*b^8 - 5*a^6*b^10 -
11*a^4*b^12 - a^2*b^14 + b^16)) + 4*sqrt(2)*(a*d^5*cos(d*x + c)^2 - a*d^5)*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4
+ b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*((a^
6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(3/4)*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*arctan(-((3*a^10 + 11*a^8*
b^2 + 14*a^6*b^4 + 6*a^4*b^6 - a^2*b^8 - b^10)*d^4*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*sqrt((9*a^4*b
^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4) + (3*a^13 + 14*a^11*b^2 + 25*a^9*b^4 + 20*a^7*b^6 + 5*a^5*b^8 - 2*a^3*b^10 - a*b^12
)*d^2*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4) - sqrt(2)*((3*a^5 + 2*a^3*b^2 - a*b^4)*d^7*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2
+ 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4) + (3*a^8 + 2*a^6*b^2 - 4*a^4*b^4 - 2*a^2*b^6
+ b^8)*d^5*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*
d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin
(d*x + c))/cos(d*x + c))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(3/4) - sqrt(2)*(a*d^7*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^
2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4) + (a^4 - b^4)*d^5*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^
4 + b^6)/d^4))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4
+ b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt(((9*a^8 + 12*a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 - 4*a^2*b^6 + b^8)*d^2*sqrt
((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*cos(d*x + c) - sqrt(2)*((9*a^6 - 15*a^4*b^2 + 7*a^2*b^4 - b^6)*d^3*s
qrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*cos(d*x + c) + (9*a^9 + 12*a^7*b^2 - 2*a^5*b^4 - 4*a^3*b^6 + a*b^
8)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2
*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*((a^6 +
3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(1/4) + (9*a^11 + 21*a^9*b^2 + 10*a^7*b^4 - 6*a^5*b^6 - 3*a^3*b^8 + a*b^10)*
cos(d*x + c) + (9*a^10*b + 21*a^8*b^3 + 10*a^6*b^5 - 6*a^4*b^7 - 3*a^2*b^9 + b^11)*sin(d*x + c))/((a^2 + b^2)*
cos(d*x + c)))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(3/4))/(9*a^14*b^2 + 39*a^12*b^4 + 61*a^10*b^6 + 35*a
^8*b^8 - 5*a^6*b^10 - 11*a^4*b^12 - a^2*b^14 + b^16)) + sqrt(2)*((a^7 + 3*a^5*b^2 + 3*a^3*b^4 + a*b^6)*d*cos(d
*x + c)^2 - (a^7 + 3*a^5*b^2 + 3*a^3*b^4 + a*b^6)*d + ((a^4 - 3*a^2*b^2)*d^3*cos(d*x + c)^2 - (a^4 - 3*a^2*b^2
)*d^3)*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2
)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*
b^4 + b^6)/d^4)^(1/4)*log(((9*a^8 + 12*a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 - 4*a^2*b^6 + b^8)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^
2*b^4 + b^6)/d^4)*cos(d*x + c) + sqrt(2)*((9*a^6 - 15*a^4*b^2 + 7*a^2*b^4 - b^6)*d^3*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3
*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*cos(d*x + c) + (9*a^9 + 12*a^7*b^2 - 2*a^5*b^4 - 4*a^3*b^6 + a*b^8)*d*cos(d*x + c))*sqrt(
(a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4
*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 +
b^6)/d^4)^(1/4) + (9*a^11 + 21*a^9*b^2 + 10*a^7*b^4 - 6*a^5*b^6 - 3*a^3*b^8 + a*b^10)*cos(d*x + c) + (9*a^10*b
+ 21*a^8*b^3 + 10*a^6*b^5 - 6*a^4*b^7 - 3*a^2*b^9 + b^11)*sin(d*x + c))/((a^2 + b^2)*cos(d*x + c))) - sqrt(2)
*((a^7 + 3*a^5*b^2 + 3*a^3*b^4 + a*b^6)*d*cos(d*x + c)^2 - (a^7 + 3*a^5*b^2 + 3*a^3*b^4 + a*b^6)*d + ((a^4 - 3
*a^2*b^2)*d^3*cos(d*x + c)^2 - (a^4 - 3*a^2*b^2)*d^3)*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))*sqrt((a^6
+ 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2
- 6*a^2*b^4 + b^6))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(1/4)*log(((9*a^8 + 12*a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 - 4*
a^2*b^6 + b^8)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*cos(d*x + c) - sqrt(2)*((9*a^6 - 15*a^4*b^2 +
7*a^2*b^4 - b^6)*d^3*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*cos(d*x + c) + (9*a^9 + 12*a^7*b^2 - 2*a^5
*b^4 - 4*a^3*b^6 + a*b^8)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((
a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))
/cos(d*x + c))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(1/4) + (9*a^11 + 21*a^9*b^2 + 10*a^7*b^4 - 6*a^5*b^6
- 3*a^3*b^8 + a*b^10)*cos(d*x + c) + (9*a^10*b + 21*a^8*b^3 + 10*a^6*b^5 - 6*a^4*b^7 - 3*a^2*b^9 + b^11)*sin(
d*x + c))/((a^2 + b^2)*cos(d*x + c))) - (8*a^8 + 21*a^6*b^2 + 15*a^4*b^4 - a^2*b^6 - 3*b^8 - (8*a^8 + 21*a^6*b
^2 + 15*a^4*b^4 - a^2*b^6 - 3*b^8)*cos(d*x + c)^2)*sqrt(-a)*arctan(sqrt(-a)*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x +
c))/cos(d*x + c))/a) - (2*(a^8 + 3*a^6*b^2 + 3*a^4*b^4 + a^2*b^6)*cos(d*x + c)^2 + 5*(a^7*b + 3*a^5*b^3 + 3*a
^3*b^5 + a*b^7)*cos(d*x + c)*sin(d*x + c))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c)))/((a^7 + 3*a^5
*b^2 + 3*a^3*b^4 + a*b^6)*d*cos(d*x + c)^2 - (a^7 + 3*a^5*b^2 + 3*a^3*b^4 + a*b^6)*d)]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(d*x+c)**3*(a+b*tan(d*x+c))**(3/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(d*x+c)^3*(a+b*tan(d*x+c))^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out